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    已知集合MD是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1，x2，均有|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|成立．
    （Ⅰ） 当D=R时，f（x）=x是否属于MD？说明理由；
    （Ⅱ） 当D=[0，+∞）时，函数f(x)=
    		x+1
    属于MD，求k的取值范围；
    （Ⅲ） 现有函数f（x）=sinx，是否存在函数g（x）=kx+b（k≠0），使得下列条件同时成立：
    ①函数g（x）∈MD；
    ②方程g（x）=0的根t也是方程f（x）=0的根，且g（f（t））=f（g（t））；
    ③方程f（g（x））=g（f（x））在区间[0，2π）上有且仅有一解．若存在，求出满足条件的k和b；若不存在，说明理由．
    分析：（Ⅰ）先求出，|f（x1）-f（x2）|=|x1-x2|得到其小于等于2|x1-x2|，即可说明其成立．（当然也可以取其它k值）
    （Ⅱ）直接对|
    f(x1)-f(x2)
    x1-x2
    |    进行整理，根据其取值范围即可得到k的取值范围；
    （Ⅲ）先根据（Ⅰ）可知，g（x）=kx+b（k≠0）属于MD，再借助于t是g（x）=0的根，以及f（g（t））=g（f（t）），得到g（x）=kx；最后根据k符合题意，则-k也符合题意，只需要借助与第三个要求求出k＞0时对应的范围，再综合即可得到结论．
    解答：解：（Ⅰ）属于MD．
    事实上，对任意x1，x2∈R，|f（x1）-f（x2）|=|x1-x2|≤2|x1-x2|，
    故可取常数k=2满足题意，因此f（x）∈MD．
    （Ⅱ）∵f(x)=
    		x+1
    在[0，+∞）为增函数
    ∴对任意x1，x2∈[0，+∞）有|
    f(x1)-f(x2)
    x1-x2
    |    =|
    		x1+1
    -
    		x2+1
    (x1+1)-(x2+1)
    |=
    1
    		x1+1
    +
    		x2+1
    ＜
    1
    2

    （当x1=0，x2→0时取到），所以k≥
    1
    2
    ，此即为所求．
    （Ⅲ）存在．
    事实上，由（Ⅰ）可知，g（x）=kx+b（k≠0）属于MD．
    ∵t是g（x）=0的根∴g(t)=0⇒t=-
    b
    k
    ，
    又f（g（t））=g（f（t）），∴f（0）=g（0），∴b=0，∴g（x）=kx
    若k符合题意，则-k也符合题意，故以下仅考虑k＞0的情形．
    设h（x）=f（g（x））-g（f（x））=sinkx-ksinx，
    ①若k≥1，则
    由h(
    π
    k
    )=sinπ-ksin
    π
    k
    ＜0    ，
    且h(
    3π
    2
    )=sin
    3kπ
    2
    -ksin
    3π
    2
    =sin
    3kπ
    2
    +k≥0    ，
    所以，在[
    π
    k
    ，
    3π
    2
    ]    中另有一根，矛盾．
    ②若
    1
    2
    ＜k＜1    ，
    则h(
    π
    k
    )=sinπ-ksin
    π
    k
    ≥0，h[2π]    =sin2kπ-ksin2π＜0，
    所以在[
    π
    k
    ，2π]    中另有一根，矛盾．∴0＜k≤
    1
    2
    ．
    以下证明，对任意k∈(0，
    1
    2
    ]，g(x)=kx    符合题意．
    （ⅰ）当x∈(0，
    π
    2
    ]    时，由y=sinx图象在连接两点（0，0），（x，sinx）的线段的上方知sinkx＞ksinx
    ∴h（x）＞0．
    （ⅱ）当x∈(
    π
    2
    ，
    π
    2k
    ]    时，sinkx＞sin
    kπ
    2
    ≥ksin
    π
    2
    ≥ksinx∴h(x)＞0    ．
    （ⅲ）当x∈(
    π
    2k
    ，2π)    时，sinkx＞0，sinx＜0，∴h（x）＞0．
    从而h（x）=0有且仅有一个解x=0，∴g（x）=kx在k∈(0，
    1
    2
    ]    满足题意．
    综上所述：k∈[-
    1
    2
    ，0)∪(0，
    1
    2
    ]，b=0    为所求．
    点评：本题是在新定义下对函数恒成立问题的考查，第三问比较麻烦，建议程度较差的学生直接略过，只须看前两问即可．
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    （1）已知函数f（x）=-x2+4（x∈（-1，2）），P、Q是f（x）图象上的任意两点．
    ①试求直线PQ的斜率kPQ的取值范围；
    ②求f（x）图象上任一点切线的斜率k的范围；
    （2）由（1）你能得出什么结论？（只须写出结论，不必证明），试运用这个结论解答下面的问题：已知集合MD是满足下列性质函数f（x）的全体：若函数f（x）的定义域为D，对任意的x1，x2∈D，（x1≠x2）有|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|．
    ①当D=（0，1）时，f（x）=lnx是否属于MD，若属于MD，给予证明，否则说明理由；
    ②当D=(0，
    		3
    3
    )    ，函数f（x）=x3+ax+b时，若f（x）∈MD，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知集合MD是满足下列性质函数f(x)的全体：若函数f(x)的定义域为D，对任意的x1,x2∈D,(x1≠x2)有|f(x1)-f(x2)|＜|x1-x2|.

    （1）当D=(0,+∞)时，f(x)=lnx是否属于MD，若属于MD，给予证明，否则说明理由；

    （2）当D=(0,)，函数f(x)=x3+ax+b时，若 f(x)∈M.求实数a的取值范围.?

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    科目：高中数学 来源：选修2-2综合测试（解析版） 题型：解答题

    （1）已知函数f（x）=-x2+4（x∈（-1，2）），P、Q是f（x）图象上的任意两点．
    ①试求直线PQ的斜率kPQ的取值范围；
    ②求f（x）图象上任一点切线的斜率k的范围；
    （2）由（1）你能得出什么结论？（只须写出结论，不必证明），试运用这个结论解答下面的问题：已知集合MD是满足下列性质函数f（x）的全体：若函数f（x）的定义域为D，对任意的x1，x2∈D，（x1≠x2）有|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|．
    ①当D=（0，1）时，f（x）=lnx是否属于MD，若属于MD，给予证明，否则说明理由；
    ②当，函数f（x）=x3+ax+b时，若f（x）∈MD，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：2007年江苏省苏州市木渎高级中学高考数学模拟试卷（解析版） 题型：解答题

    已知集合MD是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1，x2，均有|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|成立．
    （Ⅰ） 当D=R时，f（x）=x是否属于MD？说明理由；
    （Ⅱ） 当D=[0，+∞）时，函数属于MD，求k的取值范围；
    （Ⅲ） 现有函数f（x）=sinx，是否存在函数g（x）=kx+b（k≠0），使得下列条件同时成立：
    ①函数g（x）∈MD；
    ②方程g（x）=0的根t也是方程f（x）=0的根，且g（f（t））=f（g（t））；
    ③方程f（g（x））=g（f（x））在区间[0，2π）上有且仅有一解．若存在，求出满足条件的k和b；若不存在，说明理由．

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