Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，BC⊥BC₁，AB=BC₁，E，F，G分别为线段AC₁，A₁C₁，BB₁的中点，求证：
（1）平面ABC⊥平面ABC₁；
（2）EF∥面BCC₁B₁；
（3）GF⊥平面AB₁C₁．

Answer 1

证明：（1）
∵BC⊥AB
BC⊥BC₁
AB∩BC₁=B
∴平面ABC⊥平面ABC₁（4分）

（2）∵AE=EC₁，A₁F=FG，∴EF∥AA₁∵BB₁∥AA₁
∴EF∥BB₁∵EF?BCC₁B₁∴EF∥面BCC₁B₁；

（3）连接EB，则四边形EFGB为平行四边形
∵EB⊥AC₁
∴FG⊥AC₁
∵BC⊥面ABC₁
∴B₁C₁⊥面ABC₁
∴B₁C₁⊥BE
∴FG⊥B₁C₁
∵B₁C₁∩AC₁=C₁，
所以：GF⊥平面AB₁C₁
分析：（1）由BC⊥AB和BC⊥BC₁即可推得平面ABC⊥平面ABC₁；
（2）先利用条件推得EF∥AA₁，再利用BB₁∥AA₁即可得到EF∥BB₁?EF∥面BCC₁B₁；
（3）先证明FG⊥AC₁，再利用条件BC⊥面ABC₁推出FG⊥B₁C₁，即可得到GF⊥平面AB₁C₁．
点评：本题考查平面和平面垂直的判定和性质和线面平行的推导以及线面垂直的判定．在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行．