Question

（12分）设函数在及时取得极值．

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），．（Ⅱ）。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。：函数在某点存在极值的性质，函数恒成立问题题，而函数①f（x）＜c²在区间[a，b]上恒成立与②存在x∈[a，b]，使得f（x）＜c²是不同的问题．①⇔f（x）_max＜c²，②⇔f（x）_min＜c²，在解题时要准确判断是“恒成立”问题还是“存在”问题．在解题时还要体会“转化思想”及“方程与函数不等式”的思想的应用．

（1）依题意有，f'（1）=0，f'（2）=0．求解即可．

（2）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立⇔f（x）_max＜c²在区间[0，3]上成立，根据导数求出函数在[0，3]上的最大值，进一步求c的取值范围．

解：（Ⅰ），由，．解得，．

（Ⅱ）在[0，3]上恒成立即，

由（Ⅰ）可知，，．

当时，；当时，；当时，．

即在0，1]上递增，[1，2]上递减，[2，3]上递增；∴当时，取得极大值，又．故当时，的最大值为．

于是有：，解得　或，因此的取值范围为。