Question

已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2a，AB=a，F为CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求异面直线AC，BE所成角余弦值；
（Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知易证DE⊥AF，且△ACD为正三角形，又证得AF⊥CD，进而可得AF⊥平面CDE
（Ⅱ）取DE中点M，连接AM、CM，则四边形AMEB为平行四边形，AM∥BE，则∠CAM（或其补角）为AC与BE所成的角，在△ACM中解即可．
（Ⅲ）延长DA、EB交于点G，连接CG，面ACD和面BCE所成二面角的平面角即为∠DCE，易解得为45°．

解答：解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，
∴DE⊥AF．
又∵AC=AD=CD，F为CD中点，
∴AF⊥CD，
又CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE．

（2）

DE⊥平面ACD AB⊥平面ACD

⇒DE∥AB．
取DE中点M，连接AM、CM，则四边形AMEB为平行四边形，
AM∥BE，则∠CAM（或其补角）为AC与BE所成的角
在△ACM中，AC=2a，AM=

AD2+DM2

=

4a2+a2

=

5

a，CM=

CD2+DM2

=

4a2+a2

=

5

a．
由余弦定理得：cos∠CAM=

(2a)2+( 5 a)2-( 5 a)2

2×2a× 5 a

=

5

5

∴异面直线AC、AE所成的角的余弦值为

5

5

                      
（Ⅲ）延长DA、EB交于点G，连接CG．
因为AB∥DE，AB=

1

2

DE，所以A为GD中点                      
又因为F为CD中点，所以CG∥AF
因为AF⊥平面CDE，所以CG⊥平面CDE                        
故∠DCE为面ACD和面BCE所成二面角的平面角．
易求∠DCE=45°

点评：本题考查线面位置关系的判定与证明，线线角、二面角的大小求解．考查空间想象、转化、计算能力．对于“无棱的”二面角可通过延展半平面，找到棱，使问题便于解决．