Question

定义域在R上的函数f（x）对于任意的x，y有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（2）=3，当x＞0时，f（x）＞0．
（1）判断并证明函数f（x）的单调性和奇偶性；
（2）解不等式：f（|x-5|）-6＜f（|2x+3|）．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，求出f（0），再令y=-x，即可判断出奇偶性；利用函数单调性的定义，设任意x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，结合已知不等式比较f（x₁）和f（x₂）的大小，即可判断出单调性．
（2）根据f（2）=3，可求6=f（2）+f（2）=f（4），所以不等式可化为：f（|x-5|-|2x+3|）＜f（4），利用函数的单调性得|x-5|-|2x+3|＜4，利用零点分段，从而可解不等式．

解答：解：（1）令x=y=0，则f（0）=0
令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0
∴y=f（x）为奇函数．
任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0．f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）
∵x₂-x₁＞0∴f（x₂-x₁）＞0
∴f（x₂）＞f（x₁）
∴y=f（x）在R上增函数
（2）∵f（2）=3
∴6=f（2）+f（2）=f（4）
∴f（|x-5|）-6＜f（|2x+3|）
∴f（|x-5|-|2x+3|）＜f（4）
∴|x-5|-|2x+3|＜4
∴

x≥5 x-5-(2x+3)＜4

⇒x≥5
或

x≤- 3 2 5-x+2x+3＜4

⇒x＜-4
或

- 3 2 ＜x＜5 5-x-(2x+3)＜4

⇒-

3

2

＜x＜5
综上知，x＞-

3

2

或x＜-4．

点评：本题以函数的性质为载体，考查抽象函数的奇偶性和单调性的判断和应用：解不等式，及分类讨论思想，综合性强，难度较大．