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    如图2-1-14,已知BC为半圆O的直径,F是半圆上异于B、C的一点,A是的中点,AD⊥BC于点D,BF交AD于点E.

    (1)求证:BE·BF=BD·BC;

    (2)试比较线段BD与AE的大小,并说明理由.

    图2-1-14

    (1)证明:连结CF.

    ∵BC是直径,∴∠BFC=90°,

    ∵AD⊥BC,∴∠BDE=90°,∠B=∠B.

    ∴△BCF∽△BED.∴.

    ∴BE·BF=BC·BD.

    (2)解:AE＞BD,证明如下:

    连结AB、AC,则∠BAC=90°,

    ∵=,∴∠ABF=∠ACB.

    ∵∠ACB+∠ABC=90°,∠BAD+∠ABD=90°,

    ∴∠ACB=∠BAD.∴∠ABF=∠BAD.

    ∴AE=BE.

    在Rt△BDE中,BE＞BD.∴AE＞BD.

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