Question

在数列{a_n}中，如果存在常数T（T∈N₊），使得a_n+T=a_n对于任意正整数n均成立，那么就称数列{a_n}为周期数列，其中T叫做数列{a_n}的周期．已知数列{x_n}满足x_n+2=|x_n+1-x_n|（n∈N^*），若x₁=1，x₂=a（a≤1，a≠0），当数列{x_n}的周期为3时，则数列{x_n}的前2012项的和S₂₀₁₂为（　　）

• A、1339
• B、1340
• C、1341
• D、1342

Answer 1

分析：利用x₁=1，x₂=a（a≤1，a≠0），x_n+2=|x_n+1-x_n|（n∈N^*）．可得x₃=|x₂-x₁|=1-a．x₄=|x₃-x₂|=|1-2a|，再利用周期为3可得x₄=x₁，a≠0，于是2a-1=1，解得a，可得x₁+x₂+x₃=1+a+1-a=2．再利用周期性可得S₂₀₁₂=670×（x₁+x₂+x₃）+x₁+x₂即可得出．

解答：解：∵x₁=1，x₂=a（a≤1，a≠0），x_n+2=|x_n+1-x_n|（n∈N^*）．
∴x₃=|x₂-x₁|=1-a．
x₄=|x₃-x₂|=|1-2a|，
∵x₄=x₁，a≠0，∴2a-1=1，解得a=1．
∴x₁+x₂+x₃=1+a+1-a=2．
∴S₂₀₁₂=670×（x₁+x₂+x₃）+x₁+x₂=1340+1+a=1342．

点评：本题考查了数列的周期性和绝对值的意义、新定义，属于难题．