Question

16．已知向量$\vec a=（2sinθ，cosθ），\vec b=（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$
（Ⅰ）若$\vec a$∥$\vec b$，求tanθ的值；  
（Ⅱ）若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，求θ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用$\vec a$∥$\vec b$，列出方程，即可求tanθ的值；  
（Ⅱ）利用|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，得到余弦函数值，然后求θ的值．

解答 本小题满分（10分）．
解：（Ⅰ） 因为$\vec a$∥$\vec b$，所以$\frac{1}{2}cosθ=3sinθ$------------------------------------（2分）
故$tanθ=\frac{1}{6}$------------------------------------（4分）
（Ⅱ）由|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，知，$4{sin^2}θ+{cos^2}θ=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}$-----------------------------------（6分）
即$4-4{cos^2}θ+{cos^2}θ=\frac{5}{2}⇒3{cos^2}θ=\frac{3}{2}⇒{cos^2}θ=\frac{1}{2}$，------------------（8分）
即$cosθ=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，------------------------------------（9分）
又由$θ∈（0，\frac{π}{2}）$得到 $θ=\frac{π}{4}$------------------------------------（10分）

点评 本题考查向量的共线以及向量的模的求法，三角函数的化简求值考查计算能力．