Question

对于给定的正整数n（n≥2），记集合Mn={2，2²，2³，…，2ⁿ}．现将集合M_n的所含有两个元素的子集依次记为A_k（k=1，2，3，…），并将集合A_k中两个元素的积记为a_k，所有可能的a_k的和记为S．则
（1）若a_k的最大值为128，则n=

4

；
（2）求S=

4

3

(2n-2)(2n-1)

（用n表示）．

Answer 1

分析：（1）由题意知，a_k的最大值为2^（n-1）+n=2^2n-1，根据a_k的最大值为128，可求n的值；
（2）由题意，a_k可表示为2ⁱ•2^j（1≤i＜j≤m），表示出S，分组求和，即可得到结论．

解答：解：（1）由题意知，a_k的最大值为2^（n-1）+n=2^2n-1
∵a_k的最大值为128，∴2^2n-1=128，∴n=4；
（2）由题意，a_k可表示为2ⁱ•2^j（1≤i＜j≤m），则
S=（2¹⁺²+2¹⁺³+…+2¹⁺ⁿ）+（2²⁺³+2²⁺⁴+…+2²⁺ⁿ）+…+2^{（n-2）+（n-1）}+2^（n-2）+n）+2^（n-1）+n
∵2^1+（s+1）+2^2+（s+1）+…+2^s+（s+1）=4•（4^s-2^s）
∴S=4[（4+4²+…+4^n-1）-（2+2²+…+2^n-1）]=

4

3

(2n-2)(2n-1)
故答案为：4，

4

3

(2n-2)(2n-1)

点评：本题考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，考查分组求和，属于中档题．