Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA垂直于底面ABCD，PA=AD=AB=2BC=2，M，N分别为PC，PB的中点．
（1）求证：PB⊥DM；
（2）求平面ADMN与平面ABCD所成的二面角的余弦值；
（3）求点B到平面PAC的距离．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、共面定理、线面垂直的判定和性质定理即可证明；
（2）利用（1）的结论和二面角的定义即可得出；
（3）利用“等积变形”V_P-ABC=V_B-PAC，即可得出．

解答：（1）证明：∵N是PB的中点，PA=AB，
∴AN⊥PB．
由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AD，
∵∠BAD=90°，即BA⊥AD，
又BA∩AP=A，∴AD⊥平面PAB，
∴AD⊥PB，
∵M、N为中点，∴MN∥BC，
又BC∥AD，∴MN∥AD，
即A、D、M、N共面                                      
又AD∩AN=A，且AD，AN在平面ADMN内，
∴PB⊥平面ADMN，故PB⊥DM．
（2）由（1）知，AD⊥平面PAB，∴AN⊥AD，又AB⊥AD，
∴∠BAN是平面ADMN与平面ABCD所成的二面角的平面角．
在直角三角形PAB中，PB=

PA2+AB2

=

22+22

=2

2

．
∵N直角三角形PAB斜边PB的中点，∴AN=

2

．
在直角三角形NAB中，cos∠BAN=

AN

AB

=

2

2

．
即平面ADMN与平面ABCD所成的二面角的余弦值为

2

2

．
（3）由已知得，AC=

AB2+BC2

=

5

，
VP-ABC=

1

3

S△ABC×PA=

1

3

×

1

2

×2×1×2=

2

3

．
  设点B到平面PAC的距离为h，
则VB-PAC=

1

3

S△PAC×h=

1

3

×

1

2

×2×

5

h=

5

3

h．
由V_P-ABC=V_B-PAC，即

5

3

h=

2

3

，得h=

2 5

5

，
即点B到平面PAC的距

2 5

5

．

点评：熟练掌握等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、共面定理、线面垂直的判定和性质定理、二面角的定义、“等积变形”是解题的关键．