Question

 

21．(本小题满分14分)

定义数列{a_n}如下：a₁＝2，a_n＋1＝a_n²－a_n＋1，n∈N^*.证明：

(1)对于n∈N^* 恒有a_n＋1＞a_n 成立；

(2)当n∈N^*时，有a_n＋1＝a_na_n－1…a₂a₁＋1成立；

(3)

Answer 1

解析:

证(1)∵　∴a_n＋1－a_n＝(a_n－1)²≥0

假设存在某个a_k＝1，则a_k－1＝1 a₁＝1 这与a₁＝2矛盾　　∴a_n≠1　(n∈N+)

∴a_n＋1－a_n＝(a_n－1)²＞0即a_n＋1－a_n＞0　　 ∴a_n＋1＞a_n　　

(2)a_k＋1＝－a_k＋1，k∈N₊且a₁＝2　　∴当n∈N₊时，a_k＋1－1＝a_k( a_k－1)

则a_n＋1－1＝a_n( a_n－1)＝a_n· a_n－1( a_n－1??－1)

＝…＝a_n· a_n－1·a_n－2… a₂ ( a_1??－1)

＝a_n· a_n－1·a_n－2… a₁

∴当n∈N₊时有：a_n＋1＝a_n a_n－1…a_1??＋1

(3)由a_k+1＝－a_k＋1及(1)(2)可得：a_n＋1＞a_n＞a₁＝2且a_k+1－1＝a_k( a_k－1)＞0 (k∈N₊)

∴

∴2007k＝1＝＋2007k＝2

＝

＝

＝　＜1

而＜

∴≥　　故＜2007k＝1＜1