Question

已知函数f(x)=

a

3

x3-

a+1

2

x2+x+b，其中a，b∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5x-4，求f（x）的解析式；
（2）当函数f（x）在x=2处取得极值为

1

3

时，试确定f（x）在区间[

1

2

，3]上的最值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）先求函数f（x）的导数，令f'（2）=5求出a的值，切点P（2，f（2））在函数f（x）和直线y=5x-4上，可求出b的值，最后得到答案．
（2）利用函数f（x）在x=2处取得极值为

1

3

，求出a，b，可得函数的解析式，进而可求f（x）在区间[

1

2

，3]上的最值．

解答： 解：（1）求导函数得f′（x）=ax²-（a+1）x+1，
∵若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5x-4，
∴f′（2）=4a-2（a+1）+1=5，
∴2a=6，∴a=3，
∵点P（2，f（2））在切线方程y=5x-4上，
∴f（2）=5×2-4=6，∴2+b=6，∴b=4，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=x³-2x²+x+4；
（2）求导函数得f′（x）=ax²-（a+1）x+1=（ax-1）（x-1），
∵函数f（x）在x=2处取得极值为

1

3

，
∴a=

1

2

，∴b=0，
∴f（x）=

1

6

x³-

3

4

x²+x，
函数在[

1

2

，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增
∵f（1）=

5

12

，f（2）=

1

3

，f（3）=

3

4

，f（

1

2

）=

1

3

，
∴函数的最大值为

3

4

，最小值为

1

3

．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．