Question

如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则

AM

•

AN

的最大值为

9

．

Answer 1

分析：先以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出

AM

•

AN

，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可．

解答：解：如图，

以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，

3

），D（1，

3

），M（2，

3

）．
设N（x，y），N为菱形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为菱形ABCD及其内部区域．
因为

AM

=(2，

3

)，

AN

=（x，y），则

AM

•

AN

=2x+

3

y，
令z=2x+

3

y，则y=-

2 3

3

x+

3

3

z，
由图象可得当目标函数z=2x+

3

y 过点C（3，

3

）时，z=2x+

3

y取得最大值，
此时z=2×3+

3

×

3

=9．
故答案为9．

点评：本题主要考查向量在几何中的应用，以及数形结合思想的应用和转化思想的应用，是对基础知识和基本思想的考查，属于中档题．