Question

10．已知数列{a_n}，a₁=1，a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，求S_n．

Answer 1

分析 由数列的通项和求和之间的关系：n=1时S₁=a₁=1，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，结合条件化简整理可得$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，再由等差数列的定义和通项，即可得到所求S_n．

解答 解：n=1时S₁=a₁=1，
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，
又a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，
即有S_n-S_n-1=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，
化简可得S_n-1-S_n=2S_n-1•S_n，
即有$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
可得{$\frac{1}{{S}_{n}}$}为1为首项，2为公差的等差数列，
即有$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
则S_n=$\frac{1}{2n-1}$．

点评 本题考查数列的通项和求和之间的关系，同时考查等差数列的通项公式的求法，属于中档题．