【题目】如图6,四棱柱的所有棱长都相等,
,四边形
和四边形
为矩形.
(1)证明:底面
;
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(1) 详见解析 (2)
【解析】
试题分析:(1)要证明线面垂直,只需要在面内找到两条相交的线段与之垂直即可,即证明与
垂直,首先利用四棱柱所有棱相等,得到上下底面为菱形,进而得到
均为中点,得到
三者相互平行,四边形
均为矩形与平行相结合即可得到
与
垂直,进而证明线面垂直.
(2)要求二面角,此问可以以以为坐标原点,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立三维直角坐标系,利用空间向量的方法得到二面角的余弦值,在此说明第一种方法,做出二面角的平面角, 过
作
的垂线交
于点
,连接
.利用(1)得到
,在利用四边形
为菱形,对角线相互垂直,两个垂直关系即可得到
垂直于平面
,进而得到
,结合
得到线面垂直,说明角
即为哦所求二面角的平面角,设四棱柱各边长为
,利用勾股定理求出相应边长即可得到角
的余弦值,进而得到二面角的余弦值.
(1)证明:四棱柱
的所有棱长都相等
四边形
和四边形
均为菱形
分别为
中点
四边形
和四边形
为矩形
且
又且
底面
底面
.
(2)法1::过作
的垂线交
于点
,连接
.不妨设四棱柱
的边长为
.
底面
且底面
面
面
又面
四边形
为菱形
又且
,
面
面
又面
又且
,
面
面
为二面角
的平面角,则
且四边形
为菱形
,
,
则
再由的勾股定理可得
,
则,所以二面角
的余弦值为
.
法2:因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形
是菱形,因此
,又
面
,从而
两两垂直,如图以
为坐标原点,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立三维直角坐标系,不妨设
,因为
,所以
,
,于是各点的坐标为:
,已知
是平面
的一个法向量,设
是平面
的一个法向量,则
,
,取
,则
,
所以,
,故二面角
的余弦值为
.
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【题目】在直角坐标系中,射线
的方程为
,以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的方程为
.一只小虫从点
沿射线
向上以
单位/min的速度爬行
(1)以小虫爬行时间为参数,写出射线
的参数方程;
(2)求小虫在曲线内部逗留的时间.
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【题目】如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》向题的统计图(每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个),以下结论错误的是( )
A. 回答该问卷的总人数不可能是100个
B. 回答该问卷的受访者中,选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多
C. 回答该问卷的受访者中,选择“学校团委会宣传”的人数最少
D. 回答该问卷的受访者中,选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个
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【题目】如图,甲从A到B,乙从C到D,两人每次都只能向上或者向右走一格,如果两个人的线路不相交,则称这两个人的路径为一对孤立路,那么不同的孤立路一共有________对. (用数字作答)
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【题目】某公园为了美化环境和方便顾客,计划建造一座圆弧形拱桥,已知该桥的剖面如图所示,共包括圆弧形桥面和两条长度相等的直线型路面
、
,桥面跨度
的长不超过
米,拱桥
所在圆的半径为
米,圆心
在水面
上,且
和
所在直线与圆
分别在连结点
和
处相切.设
,已知直线型桥面每米修建费用是
元,弧形桥面每米修建费用是
元.
(1)若桥面(线段、
和弧
)的修建总费用为
元,求
关于
的函数关系式;
(2)当为何值时,桥面修建总费用
最低?
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【题目】为了研究高二阶段男生、女生对数学学科学习的差异性,在高二年级所有学生中随机抽取25名男生和25名女生,计算他们高二上学期期中、期末和下学期期中、期末的四次数学考试成绩的各自的平均分,并绘制成如图所示的茎叶图.
(1)请根据茎叶图判断,男生组与女生组哪组学生的数学成绩较好?请用数据证明你的判断;
(2)以样本中50名同学数学成绩的平均分x0(79.68分)为分界点,将各类人数填入如下的列联表:
分数 性别 | 高于或等于x0 | 低于x0 | 合计 |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
(3)请根据(2)中的列联表,判断能否有99%的把握认为数学学科学习能力与性别有关?
附:K2=
P(K2≥k0) | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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