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【题目】如图6,四棱柱的所有棱长都相等,,四边形和四边形为矩形.

(1)证明:底面;

(2),求二面角的余弦值.

【答案】(1) 详见解析 (2)

【解析】

试题分析:(1)要证明线面垂直,只需要在面内找到两条相交的线段与之垂直即可,即证明垂直,首先利用四棱柱所有棱相等,得到上下底面为菱形,进而得到均为中点,得到三者相互平行,四边形均为矩形与平行相结合即可得到垂直,进而证明线面垂直.

(2)要求二面角,此问可以以以为坐标原点,所在直线分别为,,轴建立三维直角坐标系,利用空间向量的方法得到二面角的余弦值,在此说明第一种方法,做出二面角的平面角, 的垂线交于点,连接.利用(1)得到,在利用四边形为菱形,对角线相互垂直,两个垂直关系即可得到垂直于平面,进而得到,结合得到线面垂直,说明角即为哦所求二面角的平面角,设四棱柱各边长为,利用勾股定理求出相应边长即可得到角的余弦值,进而得到二面角的余弦值.

(1)证明:四棱柱的所有棱长都相等

四边形和四边形均为菱形

分别为中点

四边形和四边形为矩形

底面

底面.

(2)1::的垂线交于点,连接.不妨设四棱柱的边长为.

底面且底面

四边形为菱形

,

,

为二面角的平面角,

且四边形为菱形

,,

再由的勾股定理可得,

,所以二面角的余弦值为.

2:因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形是菱形,因此,,从而两两垂直,如图以为坐标原点,所在直线分别为,,轴建立三维直角坐标系,不妨设,因为,所以,,于是各点的坐标为:,已知是平面的一个法向量,是平面的一个法向量,,,,,

所以,,故二面角的余弦值为.

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(2)以样本中50名同学数学成绩的平均分x0(79.68分)为分界点,将各类人数填入如下的列联表:

分数

性别

高于或等于x0

低于x0

合计

男生

女生

合计

(3)请根据(2)中的列联表,判断能否有99%的把握认为数学学科学习能力与性别有关?

附:K2=

PK2k0

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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