Question

6．如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC点，F棱AC上，且AF=3FC．
（1）求三棱锥D-ABC的体积；
（2）求证：AC⊥平面DEF；
（3）若M为DB中点，N在棱AC上，且CN=$\frac{3}{8}$CA，求证：MN∥平面DEF．

Answer 1

分析 （1）直接利用体积公式，求三棱锥D-ABC的体积；
（2）要证AC⊥平面DEF，先证AC⊥DE，再证AC⊥EF，即可．
（3）M为BD的中点，连CM，设CM∩DE=O，连OF，只要MN∥OF即可．

解答 （1）解：∵△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，
∴三棱锥D-ABC的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×a$=$\frac{\sqrt{3}}{12}{a}^{3}$．
（2）证明：取AC的中点H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．
∵AF=3FC，∴F为CH的中点．
∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．
∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．
（3）解：连CM，设CM∩DE=O，连OF．
由条件知，O为△BCD的重心，CO=$\frac{2}{3}$CM．
当CN=$\frac{3}{8}$CA时，CF=$\frac{2}{3}$CN，∴MN∥OF．
∵MN?平面DEF，OF?平面DEF，
∴MN∥平面DEF．

点评 本题考查棱锥的结构特征，证明线面垂直，线面平行，考查体积的计算，考查逻辑思维能力，是中档题．