Question

用单调性定义证明：函数f(x)=

1

(x-1)2

在（-∞，1）上为增函数．

Answer 1

分析：利用单调性的定义进行证明，设x₁＜x₂＜1，再作差、变形、判断符号，证f（x₂）＞f（x₁），把x₁和x₂分别代入函数f （x）=

1

(x-1)2

进行证明．

解答：解：设x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=

1

(x1-1)2

-

1

(x2-1)2

=

(x1+x2-2)(x2-x1)

(x1-1)2(x2-1)2

∵x₁＜x₂＜1，∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂＜2，x₁+x₂-2＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）=

1

(x-1)2

在（-∞，1）上是增函数．

点评：此题主要考查函数单调性的定义，解题的关键是利用单调性定义：取值、作差、变形、判断符号、下结论五个步骤进行证明，