Question

在△ABC中，三角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的周长为

2

+1，且sinA+sinB=

2

sinC．
（Ⅰ）求边c的长；
（Ⅱ）若△ABC的面积为

1

6

sinC，求角C的大小．

Answer 1

分析：（I）表示出周长得到关于a，b及c一个关系式，利用正弦定理化简sinA+sinB=

2

sinC，得到关于a，b及c的另一个关系式，然后再前面的关系式代入到后面的关系式中即可求出c的值；
（II）根据三角形的面积公式表示出三角形的面积，化简后得到ab的值，然后利用余弦定理表示出cosC，利用完全平方公式变形后，将ab，c及a+b的值代入即可求出cosC的值，由C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．

解答：解：（I）由题意及正弦定理，得a+b+c=

2

+1，（2分）a+b=

2

c，（4分）
两式相减，得c=1．（6分）
（II）由△ABC的面积

1

2

a•b•sinC=

1

6

sinC，得a•b=

1

3

，（9分）
由余弦定理，得cosC=

a2+b2-c2

2a•b

=

(a+b)2-2a•b-c2

2a•b

=

1

2

，（12分）
所以C=60°．（14分）

点评：此题综合考查了正弦、余弦定理以及三角形的面积公式．整体代入是解本题的思想方法．