Question

3．已知过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，斜率为$2\sqrt{2}$的直线交抛物线于不同两点A（x₁，y₁ ）、B（x₂，y₂ ），（x₁＜x₂），且|AB|=9．
（Ⅰ）求该抛物线的方程；
（Ⅰ）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求得焦点坐标，得到直线方程，和抛物线方程联立，利用弦长公式求得p，则抛物线方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出A，B的坐标结合$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB}$求出C的坐标，代入抛物线方程求得λ值．

解答 解：（Ⅰ）依题意可知抛物线的焦点坐标为（$\frac{p}{2}，0$），故直线AB的方程为$y=2\sqrt{2}x-\sqrt{2}p$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{2}x-\sqrt{2}p}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，可得4x²-5px+p²=0．
∵x₁＜x₂，p＞0，△=25p²-16p²=9p²＞0，解得${x}_{1}=\frac{p}{4}，{x}_{2}=p$．
∴经过抛物线焦点的弦|AB|=${x}_{1}+{x}_{2}+p=\frac{9}{4}p=9$，解得p=4．
∴抛物线方程为y²=8x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x₁=1，x₂=4，代入直线y=$2\sqrt{2}x-4\sqrt{2}$，
可求得${y}_{1}=-2\sqrt{2}$，${y}_{2}=4\sqrt{2}$，即A（1，-2$\sqrt{2}$），B（4，$4\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB}$=（1，-2$\sqrt{2}$）+λ（4，$4\sqrt{2}$）=（4λ+1，$4\sqrt{2}λ-2\sqrt{2}$），
∴C（4λ+1，$4\sqrt{2}λ-2\sqrt{2}$），
∵C点在抛物线上，故$（4\sqrt{2}λ-2\sqrt{2}）^{2}=8（4λ+1）$，解得：λ=0或λ=2．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，训练了向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．