Question

【题目】已知椭圆的焦距为，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与抛物线相交于两点，与椭圆相交于两点，（为坐标原点），为抛物线的焦点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用焦距、椭圆上的点和椭圆的关系可构造方程组求得，进而得到椭圆方程；

（2）设，与抛物线方程联立得到，利用构造方程求得，可知恒过定点，则；将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理整理得到，利用换元法，结合函数的单调性可求得所求最值.

（1）椭圆过点，…①，

又椭圆焦距为，则，…②，

由①②可解得：，，椭圆的标准方程为.

（2）由题意可设直线的方程为，设，，

由消去得：，则.

，，

直线的方程为，恒过定点，

由，消去得：.

设，，则，.

，

令，则，

令，则，令，则，

在上单调递增，

当时，的面积取得最大值，最大值为，此时，直线的方程为.

面积的最大值为.