Question

已知函数（a＞0，且a≠1）
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性、并证明；
（Ⅲ）求使不等式f（x）＞0成立的x的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函数（a＞0，且a≠1），可得＞0，即 （1+x）（1-x）＞0，解得-1＜x＜1，
故函数f（x）的定义域为（-1，1）．
（Ⅱ）由于函数f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称，且f（-x）=log_a=-log_a=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．
（Ⅲ）由不等式f（x）＞0可得，当a＞1时，＞1，即 ，解得0＜x＜1．
当1＞a＞0时，0＜＜1，即 ，即 ，解得-1＜x＜0．
综上可得，当a＞1时，不等式的解集为{x|0＜x＜1}； 当1＞a＞0时，不等式的解集为{x|-1＜x＜0}．
分析：（Ⅰ）由函数f（x）的解析式可得＞0，即 （1+x）（1-x）＞0，由此解得x的范围，即可得到函数f（x）的定义域．
（Ⅱ）由于函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（-x）=-f（x），根据函数的奇偶性的定义得出结论．
（Ⅲ）由不等式f（x）＞0可得，当a＞1时，由＞1，求得不等式的解集．当1＞a＞0时，0＜＜1，即 ，解此不等式组求得不等式的解集，
综合可得结论．
点评：本题主要考查对数函数的图象和性质应用，分式不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．