Question

已知△ABC的面积为1，tanB=

1

2

，tanC=-2，求△ABC的边长及tanA．

Answer 1

分析：由三角形的内角和定理得到A=π-（B+C），利用诱导公式化简tanA后，将tanB和tanC的值代入求出tanA的值，由tanB的值大于0，得到B为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB和cosB的值，同理由tanC的值小于0，得到C为钝角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC和cosC的值，由A=π-（B+C），利用诱导公式化简sinA后，将各自的值代入求出sinA的值，再由sinB的值，利用正弦定理用b表示出a，由a，b，已知的面积，及sinC的值，利用三角形的面积公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，进而确定出b的值，再利用正弦定理即可求出c的值．

解答：解：∵tanB=

1

2

，tanC=-2，且A+B+C=π，
∴tanA=tan[π-（B+C）]=-tan（B+C）=-

tanB+tanC

1-tanBtanC

=-

1 2 -2

1+1

=

3

4

，
∵tanB=

1

2

＞0，
∴0＜B＜

π

2

，
∴cosB=

1 tan2B+1

=

2 5

5

，sinB=

1-cos2B

=

5

5

，
又tanC=-2＜0，∴

π

2

＜C＜π，
∴cosC=-

1 tan2C+1

=-

5

5

，sinC=-

1-cos2C

=-

2 5

5

，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

5

5

×（-

5

5

）+

2 5

5

×

2 5

5

=

3

5

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：a=

bsinA

sinB

=

3

5

b，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

•

3

5

b²•

2 5

5

=1，
解得：b=

15

3

，
∴a=

3

5

×

15

3

=

3

，
∴c=

asinC

sinA

=

2 15

3

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．