Question

【题目】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2 cos（θ﹣ ）．
（Ⅰ） 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ） 求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 由直线l的参数方程 消去t参数，得x+y﹣4=0，

∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0．

由 = ．

得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．

将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，

得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．

（Ⅱ） 法1：设曲线C上的点为 ，

则点P到直线l的距离为 = =

当 时，

∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为 ；

法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．

当直线l'与圆C相切时，得 ，解得b=0或b=﹣4（舍去）．

∴直线l'的方程为x+y=0．

那么：直线l与直线l'的距离为

故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为 .

【解析】（Ⅰ）消去参数方程的参数即可求得普通方程；（Ⅱ）可以利用曲线C的参数方程设出曲线C上的一点P的坐标，进而求得曲线C上的点到直线l的距离的一般代数式，求得其最大值即可；或者求得与直线l平行，且与曲线C相切的直线l'的方程，再求得两条平行线间的距离，即求得曲线C上的点到直线l的距离的最大值.