Question

11．△AOB是直角边长为1的等腰直角三角形，在坐标系中位置如图所示，O为坐标原点，P（a，b）是三角形内任意一点，且满足b=2a，过P点分别做OB，OA，AB三边的平行线，求阴影部分面积的最大值及此时P点坐标．

Answer 1

分析 求出直线AB的方程，求出对应点的坐标，结合三角形和梯形的面积，利用一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：AB的方程为y=-x+1，
则△PEF是等腰直角三角形，
∵P（a，b），
∴△PEF的面积S=$\frac{1}{2}$a²，
当y=b时，x=1-b=1-2a，
即H（1-2a，2a），则PH=1-3a，PN=2a，NB=1-a，
则梯形的面积S=$\frac{（1-3a+1-a）•2a}{2}$=2a-4a²，
则阴影部分的面积S=$\frac{1}{2}$a²+2a-4a²=-$\frac{7}{2}$a²+2a=-$\frac{7}{2}$（a-$\frac{2}{7}$）²+$\frac{2}{7}$，
∵$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{0＜2a＜1}\end{array}\right.$，得0＜a＜$\frac{1}{2}$，
∴当a=$\frac{2}{7}$时，面积取得最大值$\frac{2}{7}$，
此时P（$\frac{2}{7}$，$\frac{4}{7}$）．

点评 本题主要考查函数最值的求解，根据三角形和梯形的面积公式，结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．