Question

如图，定点A，B的坐标分别为A（0，27），B（0，3），一质点C从原点出发，始终沿x轴的正方向运动，已知第1分钟内，质点C运动了1个单位，之后每分钟内比上一分钟内多运动了2个单位，记第n分钟内质点运动了a_n个单位，此时质点的位置为（C_n，0）．
（Ⅰ）求a_n、C_n的表达式；
（Ⅱ）当n为何值时，tan∠AC_nB取得最大，最大值为多少？

Answer 1

分析：（I）确定第n分钟内，质点C运动了a_n=1+2（n-1）=2n-1个单位，从而可求C_n的表达式；
（Ⅱ）利用差角的正切公式，结合基本不等式，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）由条件可知，第n分钟内，质点C运动了a_n=1+2（n-1）=2n-1个单位，…（2分）       
所以C_n=1+3+…+（2n-1）=

n(1+2n-1)

2

=n²．…（4分）
（Ⅱ）∵tan∠AC_nO=

27

n2

，tan∠BC_nO=

3

n2

，…（6分）
∴tan∠AC_nB=tan（∠AC_nO-∠BC_nO）=

27 n2 - 3 n2

1+ 27 n2 • 3 n2

=

24

n2+ 81 n2

．…（8分）
≤

24

2 n2• 81 n2

=

4

3

…（10分）
当且仅当n2=

81

n2

，即n=3时，等号成立．…（11分）
∴n=3时，tan∠AC_nB最大，最大值为

4

3

．…（12分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查差角的正切公式，考查基本不等式的运用，属于中档题．