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已知经过点P(0,2)且以数学公式为一个方向向量的直线l与双曲线3x2-y2=1相交于不同两点A、B.
(1)求实数a的取值范围;
(2)若点A、B均在已知双曲线的右支上,且满足数学公式,求实数a的值;
(3)是否存在这样的实数a,使得A、B两点关于直线数学公式对称?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.

解:(1)由已知,直线l的方程为 y=ax+2.
消去y,并整理得 (3-a2)x2-4ax-5=0.①
依题意得 解得 .②
因此 所求的实数a的取值范围为
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).因为点A、B均在已知双曲线的右支上,
所以 (1)中方程①具有两个不同的正实数根x1、x2,即x1>0、x2>0,
于是 解得
,即 (x1,y1)•(x2,y2)=0,即 x1x2+y1y2=0,
而 y1y2=(ax1+2)(ax2+2)=a2x1x2+2a(x1+x2)+4,
所以 x1x2+a2x1x2+2a(x1+x2)+4=0,即 (1+a2)x1x2+2a(x1+x2)+4=0,
,解得
又因为 ,所以
因此 所求实数a的值为
(3)假设存在实数a,使A、B两点关于直线对称,则直线y=ax+2与相互垂直.
因为直线y=ax+1与的一个法向量分别为为(a,-1)、(1,-2),由题意,向量(a,-1)、(1,-2)也相互垂直,即有 (a,-1)•(1,-2)=0,即 a+2=0,解得a=-2.(注:由直线y=ax+2与相互垂直得 ,解得a=-2.这样做也行.)
所以直线l的方程为y=-2x+2.
联立方程组 消去y,并整理得 x2-8x+5=0.
这里△=(-8)2-20=44>0,且x1+x2=8,x1x2=-5,
所以,则
设线段AB的中点为M,则 M(4,-6).
由于AB中点M(4,-6)也在直线上,
因此 存在实a=-2,可使A、B两点关于直线对称.
分析:(1)因为直线l经过点P(0,2)且以为一个方向向量,所以可写出点斜式方程,与双曲线方程联立,因为直线与双曲线相交于不同两点,利用韦达定理,即可求出实数a的取值范围.
(2)若点A、B均在已知双曲线的右支上,则(1)中直线与双曲线联立得到的关于x的一元二次方程有两正根,除满足△≥0外,还需满足两根之和大于0,两根之积大于0,把a的范围进一步缩小,再由,求出a值.
(3)先假设存在实数a,使得A、B两点关于直线对称,则直线为线段AB的垂直平分线,直线l的法向量与直线的法向量互相垂直,得到a的值,再求出直线l的方程,与双曲线方程联立,求出A,B点的中点M坐标,判断M点是否再直线,若在,则假设成立,否则,假设不成立.
点评:本题主要考查了韦达定理在直线与双曲线位置关系判断中的应用,注意设而不求思想的应用.
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d
=(1,a)
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(1)求实数a的取值范围;
(2)若点A、B均在已知双曲线的右支上,且满足
OA
OB
=0
,求实数a的值;
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1
2
x-8
对称?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.

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