解:(1)由已知,直线l的方程为 y=ax+2.
由
消去y,并整理得 (3-a
2)x
2-4ax-5=0.①
依题意得
解得
且
且
.②
因此 所求的实数a的取值范围为
.
(2)设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2).因为点A、B均在已知双曲线的右支上,
所以 (1)中方程①具有两个不同的正实数根x
1、x
2,即x
1>0、x
2>0,
于是
解得
.
又
,即 (x
1,y
1)•(x
2,y
2)=0,即 x
1x
2+y
1y
2=0,
而 y
1y
2=(ax
1+2)(ax
2+2)=a
2x
1x
2+2a(x
1+x
2)+4,
所以 x
1x
2+a
2x
1x
2+2a(x
1+x
2)+4=0,即 (1+a
2)x
1x
2+2a(x
1+x
2)+4=0,
则
,解得
.
又因为
,所以
.
因此 所求实数a的值为
.
(3)假设存在实数a,使A、B两点关于直线
对称,则直线y=ax+2与
相互垂直.
因为直线y=ax+1与
的一个法向量分别为为(a,-1)、(1,-2),由题意,向量(a,-1)、(1,-2)也相互垂直,即有 (a,-1)•(1,-2)=0,即 a+2=0,解得a=-2.(注:由直线y=ax+2与
相互垂直得
,解得a=-2.这样做也行.)
所以直线l的方程为y=-2x+2.
联立方程组
消去y,并整理得 x
2-8x+5=0.
这里△=(-8)
2-20=44>0,且x
1+x
2=8,x
1x
2=-5,
所以
,则
.
设线段AB的中点为M,则 M(4,-6).
由于AB中点M(4,-6)也在直线
上,
因此 存在实a=-2,可使A、B两点关于直线
对称.
分析:(1)因为直线l经过点P(0,2)且以
为一个方向向量,所以可写出点斜式方程,与双曲线方程联立,因为直线与双曲线相交于不同两点,利用韦达定理,即可求出实数a的取值范围.
(2)若点A、B均在已知双曲线的右支上,则(1)中直线与双曲线联立得到的关于x的一元二次方程有两正根,除满足△≥0外,还需满足两根之和大于0,两根之积大于0,把a的范围进一步缩小,再由
,求出a值.
(3)先假设存在实数a,使得A、B两点关于直线
对称,则直线
为线段AB的垂直平分线,直线l的法向量与直线
的法向量互相垂直,得到a的值,再求出直线l的方程,与双曲线方程联立,求出A,B点的中点M坐标,判断M点是否再直线
,若在,则假设成立,否则,假设不成立.
点评:本题主要考查了韦达定理在直线与双曲线位置关系判断中的应用,注意设而不求思想的应用.