Question

5．在△ABC中，已知A（0，2），B（2，0），C（-2，-1）
（1）求BC边上的高AH所在的直线方程；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．
（2）利用点到直线的距离公式、三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）由已知得，B，C两点连线的斜率k_BC=$\frac{-1-0}{-2-2}=\frac{1}{4}$，
依题意AH⊥BC，∴${k_{AH}}=-\frac{1}{{{k_{BC}}}}=-4$，又A（0，2），
由斜截式得高AH所在的直线方程为y=-4x+2，即4x+y-2=0．…（6分）
（2）设BC边上的高为h，则S_△ABC=$\frac{1}{2}|BC|•h$．
$|BC|=\sqrt{{{（-2-2）}^2}+{{（-1）}^2}}=\sqrt{17}$．
由（1）k_BC=$\frac{1}{4}$，又B（2，0），
由点斜式得BC边所在的直线方程为y-0=$\frac{1}{4}$（x-2），即x-4y-2=0．
BC边上的高为h就是点A（0，2）到BC的距离，
所以，$h=\frac{|0-4×2-2|}{{\sqrt{{1^2}+{{（-4）}^2}}}}=\frac{10}{{\sqrt{17}}}$，
因此，△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}|BC|•d=\frac{1}{2}×\sqrt{17}×\frac{10}{{\sqrt{17}}}=5$．…（12分）

点评 本题考查了斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．