Question

设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＜0，M是抛物线的准线上的一点，O是坐标原点．若直线MA，MF，MB的斜率分别记为：K_MA=a，K_MF=b，K_MB=c，（如图）
（I）若y₁y₂=-4，求抛物线的方程；
（II）当b=2时，求a+c的值；
（III）如果取时，判定|∠AMF-∠BMF|和∠MFO的值大小关系．并说明理由．

Answer 1

解：（I）设直线AB的方程为
由消去x得
所以y₁y₂=-p²=-4
因为p＞0，所以p=2
所以此抛物线的方程为y²=4x
（II）则，所以y₀=-2p
所以=
由（*）得y₁y₂=-p²，
所以
（III）设直线AM、FM、BM的倾斜角分别为θ₁，θ₂，θ₃，
则∠AMF=θ₁-θ₂，∠BMF=θ₃+θ₂，∠MFO=θ₂所以θ₁+θ₃=
所以|∠AMF-∠BMF|＞∠MFO
分析：（I）设直线AB的方程为，由得，由此能求出抛物线的方程．
（II）则，所以y₀=-2p，由此能够推导出．
（III）设直线AM、FM、BM的倾斜角分别为θ₁，θ₂，θ₃，则∠AMF=θ₁-θ₂，∠BMF=θ₃+θ₂，∠MFO=θ₂，，由此能够导出|∠AMF-∠BMF|＞∠MFO．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．