考点:函数恒成立问题
专题:函数的性质及应用,不等式的解法及应用
分析:(1)直接由f(0)=0求得b,再由f(1)=-f(1)求得a;
(2)由(1)求得的a,b的值得到函数解析式,然后结合指数函数的值域求得f(x)的值域;
(3)判断出函数f(x)为减函数,把不等式不等式f(4x-k2x+1)+f(k22x+1+k-1)<0转化为4x-k2x+1>-k22x+1-k+1,令2x=t(t>0),化为关于t的不等式(2k+1)t2-2kt+k-1>0对于任意的t>0恒成立,然后由三个二次结合得答案.
解答:
解:(1)∵f(x)=
是奇函数,
∴f(0)=0,
即
=0,b=1,
∴f(x)=
,
又由f(1)=-f(-1)知
=-.
∴a=2,b=1;
(2)由(1)知
f(x)==-+,
当x∈R时,2
x+1>1,
0<<1,
∴f(x)∈(
-,);
(3)由(2)知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
由f(4
x-k2
x+1)+f(k2
2x+1+k-1)<0恒成立,
等价于f(4
x-k2
x+1)<-f(k2
2x+1+k-1)=f(-k2
2x+1-k+1),
即4
x-k2
x+1>-k2
2x+1-k+1恒成立,
令2
x=t(t>0),
则(2k+1)t
2-2kt+k-1>0对于任意的t>0恒成立,
则
| 2k+1>0 | (-2k)2-4(2k+1)(k-1)<0 |
| |
或
,
解得:k>
或k∈∅,
综上,满足对任意的x∈R,不等式f(4
x-k2
x+1)+f(k2
2x+1+k-1)<0恒成立的实数k的取值范围是
(,+∞).
点评:本题考查了函数奇偶性性质的应用,考查了函数单调性的判定方法,训练了数学转化思想方法,训练了利用“三个二次”的结合求解参数问题,是压轴题.