Question

2．若直线ax+by-1=0（其中a＞0且b＞0）平分圆x²+y²-4x-2y-1=0的周长，则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值为（　　）

• A． 16
• B． 8
• C． 4
• D． 2

Answer 1

分析 求出圆心坐标代入直线方程得到a，b的关系2a+b=1，将$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$乘以2a+b展开，利用基本不等式，检验等号能否取得，求出函数的最小值．

解答 解：∵直线平分圆的周长，∴直线过圆心．
∵圆心坐标为（2，1），
∴2a+b=1，又a＞0且b＞0，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）（2a+b）=4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$$≥4+2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$=8，
当且仅当b=2a时取等号，$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值为8．
故选：B．

点评 本题考查直线平分圆时直线过圆心、考查利用基本不等式求函数的最值需注意：一正、二定、三相等．