Question

17．设a＞0，b＞0，且ab=2a+b，则a+b的最小值为2$\sqrt{2}$+3．

Answer 1

分析 a＞0，b＞0，且ab=2a+b，b=$\frac{2a}{a-1}$＞0，解得a＞1．变形a+b=a+$\frac{2a}{a-1}$=a-1+$\frac{2}{a-1}$+3，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞0，且ab=2a+b，b=$\frac{2a}{a-1}$＞0，解得a＞1．
则a+b=a+$\frac{2a}{a-1}$=a-1+$\frac{2}{a-1}$+3≥3+2$\sqrt{（a-1）×\frac{2}{a-1}}$=3+2$\sqrt{2}$，当且仅当a=$\sqrt{2}$+1时取等号．
∴a+b的最小值为2$\sqrt{2}$+3．
故答案为：$2\sqrt{2}+3$．

点评 本题考查了变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．