Question

已知数列{b_n}中，b₁=1，且点（b_n+1，b_n）在直线y=x-1上．数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+3，
（Ⅰ） 求数列{b_n}的通项公式
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若c_n=a_n+3，求数列{b_nc_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用点（b_n+1，b_n）在直线y=x-1上，确定数列{b_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，可求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）根据数列递推式a_n+1=2a_n+3，可得a_n+1+3=2（a_n+3），从而可得{a_n+3}是以4为首项，2为公比的等比数列，由此可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）确定数列的通项，利用错位相减法，可得数列{b_nc_n}的前n项和S_n．

解答：解：（Ⅰ）∵点（b_n+1，b_n）在直线y=x-1上，∴b_n+1-b_n=1
∵b₁=1，∴数列{b_n}是以1为首项，1为公差的等差数列
∴b_n=n（n∈N^*）；
（Ⅱ）∵a_n+1=2a_n+3，∴a_n+1+3=2（a_n+3）
∵a₁=1，∴a₁+3=4
∴{a_n+3}是以4为首项，2为公比的等比数列
∴a_n+3=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴an=2n+1-3（n∈N^*）；
（Ⅲ）c_n=a_n+3=2ⁿ⁺¹，∴b_nc_n=n×2ⁿ⁺¹，
∴S_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，①
∴2S_n=1×2³+2×2⁴+…+n×2ⁿ⁺²，②
①-②可得：-S_n=1×2²+1×2³+…+1×2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺²
∴Sn=(n-1)•2n+2+4（n∈N^*）

点评：本题考查数列递推式，考查数列通项的确定，考查数列的求和，确定数列是等差数列与等比数列是解题的关键．