Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，前 n 项和为S_n，且点（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上．计算+++…+．

Answer 1

解：∵a₁=1，点（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，
∴a_n-a_n+1+1=0，
∴a_n+1-a_n=1，…（3分）
∴{a_n}是等差数列，首项和公差均为1，
∴a_n=1+（ n-1）=n．…（6分）
∴S_n=1+2+…+n=，…（8分）
∴==2（-）…（10分）
∴+++…+=2（1-）+2（-）+2（-）+…+2（-）
=2（1-）=．…（14分）
分析：由点（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，可得a_n+1=a_n+1，又a₁=1，可判断{a_n}是首项和公差均为1的等差数列，从而求得
其前 n 项和为S_n=，于是可用裂项法求得=2（-），从而可求得答案．
点评：本题考查数列的求和，关键在于判断出数列{a_n}为等差数列，求得前 n 项和S_n，再用裂项法求+++…+，属于中档题．