Question

18．若不等式ax²+3x+5＞0在区间[1，6]上恒成立，则实数a的取值范围为a＞-$\frac{23}{36}$．

Answer 1

分析 不等式可整理为a＞-$\frac{5}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{x}$，只需求出右式的最大值即可．利用构造函数f（x）=-$\frac{5}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{x}$，求出导函数f'（x）=$\frac{10}{{x}^{3}}$+$\frac{3}{{x}^{2}}$＞0，得出函数的单调性，求出函数的最大值即可．

解答 解：ax²+3x+5＞0在区间[1，6]上恒成立，
∴a＞-$\frac{5}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{x}$，
令f（x）=-$\frac{5}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{x}$，f'（x）=$\frac{10}{{x}^{3}}$+$\frac{3}{{x}^{2}}$＞0，
∴f（x）在[1，6]上递增，
∴f（x）的最大值为f（6）=-$\frac{23}{36}$，
∴a＞-$\frac{23}{36}$．
故答案为：a＞-$\frac{23}{36}$．

点评 考查了恒成立问题的转化，利用构造函数，通过导函数得出函数的最大值解决问题．