Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足a1= ，2Sn﹣SnSn﹣1=1（n≥2）．
（1）求S1 ， S2 ， S3 ， S4并猜想Sn的表达式（不必写出证明过程）；
（2）设bn= ，n∈N*，求bn的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1= ，2Sn﹣SnSn﹣1=1（n≥2）．∴ =1，解得S2= ．

同理可得：S3= ，S4= ．

猜想Sn=

（2）解：由（1）可得：n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ = ．

bn= = = = ≤ ，n∈N*，

b5= ，b6= ．

∴bn的最大值为

【解析】（1）a1= ，2Sn﹣SnSn﹣1=1（n≥2）．可得 =1，解得S2 ． 同理可得：S3 ， S4 ． 猜想Sn= ．（2）由（1）可得：n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1= ．可得bn= = ，利用基本不等式的性质、函数的单调性即可得出．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和归纳推理的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理才能正确解答此题．