Question

14．如图，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-c，0），过点F的直线交椭圆于A，B两点，当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，记△GFD的面积为S₁，△OED（O为原点）的面积为S₂，若c=1，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60°，设 F（-c，0），由直线斜率可求得b，c关系式，再与a²=b²+c²联立可得a，c关系，由此即可求得离心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）椭圆方程可化为$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由题意直线AB不能与x，y轴垂直，故设直线AB的方程为y=k（x+c），将其代入椭圆方程消掉y变为关于x的二次方程，由韦达定理及中点坐标公式可用k，c表示出中点G的坐标，由GD⊥AB得k_GD•k=-1，则D点横坐标也可表示出来，易知△GFD∽△OED，故$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{|GD{|}^{2}}{|OD{|}^{2}}$，用两点间距离公式即可表示出来，根据式子结构特点可求得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的范围；

解答 解：（Ⅰ）依题意，当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60°．
设 F（-c，0），则 $\frac{b}{c}$=tan60°=$\sqrt{3}$．
将 b=$\sqrt{3}$c代入a²=b²+c²，得a=2c．
所以椭圆的离心率为 e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ），椭圆的方程可设为$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
依题意，直线AB不能与x，y轴垂直，故设直线AB的方程为y=k（x+c），将其代入3x²+4y²=12c²，
整理得 （4k²+3）x²+8ck²x+4k²c²-12c²=0．
则 x₁+x₂=$\frac{-8c{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂+2c）=$\frac{6ck}{4{k}^{2}+3}$，所以G（$\frac{-4c{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，$\frac{3ck}{4{k}^{2}+3}$）．
因为 GD⊥AB，所以 $\frac{\frac{3ck}{4{k}^{2}+3}}{\frac{-4c{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}-{x}_{D}}$×k=-1，x_D=$\frac{-c{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$．
因为△GFD∽△OED，
所以 $\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{|GD{|}^{2}}{|OD{|}^{2}}$=$\frac{（\frac{-4c{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}-\frac{-c{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}）^{2}+（\frac{3ck}{4{k}^{2}+3}）^{2}}{（\frac{-c{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}）^{2}}$=$\frac{（3c{k}^{2}）^{2}+（3ck）^{2}}{（{c{k}^{2}）}^{2}}$=$\frac{9{c}^{2}{k}^{4}+9{c}^{2}{k}^{2}}{{c}^{2}{k}^{4}}$=9+$\frac{9}{{k}^{2}}$＞9．
所以$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的取值范围是（9，+∞）．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆的简单性质，考查学生分析解决问题的能力，运算量大，综合性强，对能力要求较高．