Question

经过椭圆

x2

2

+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则

OA

•

OB

等于

-

1

3

．

Answer 1

分析：由椭圆

x2

2

+y2=1可求椭圆的焦点为F（±1，0），不妨设所作直线l过焦点（1，0），故可得直线L：y=x-1，联立

y=x-1 x2 2 +y2=1

可求A，B．然后由

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂，代入可求

解答：解：∵椭圆

x2

2

+y2=1中a=

2

，b=1
∴c=1
椭圆的焦点为F（±1，0）
不妨设所作倾斜角为45°的直线l过焦点（1，0），故直线L：y=x-1
联立

y=x-1 x2 2 +y2=1

消去y可得，3x²-4x=0
解方程可得，x1=0，x2 =

4

3

代入直线y=x-1可得，y₁=-1，y2=

1

3

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-

1

3

故答案为：-

1

3

点评：本题主要考查了椭圆性质的应用，直线与椭圆的相交关系的应用，向量数量积的坐标表示等知识的综合应用，属于综合性试题