Question

对于△ABC，有如下四个命题：
①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
②若sinB=cosA，则△ABC是直角三角形
③若sin²A+sin²B＞sin²C，则△ABC是钝角三角形
④若

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，则△ABC是等边三角形
其中正确的命题个数是

1

．

Answer 1

分析：①若sin2A=sin2B，则 2A=2B，或 2A+2B=π，即A=B 或C=

π

2

，可知①不正确．
②若sinB=cosA，找出∠A和∠B的反例，即可判断△ABC是直角三角形错误，故②不正确．
③由sin²A+sin²B＞sin²C，结合正弦定理可得a²+b²＞c²，再由余弦定理可得cosC＞0，所以C为锐角．
④利用正弦定理，化简

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，可得sin

A

2

=sin

B

2

=sin

C

2

，从而可得

A

2

=

B

2

=

C

2

．

解答：解：①若sin2A=sin2B，则 2A=2B，或 2A+2B=π，即A=B 或C=

π

2

，故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故①不正确．
②若sinB=cosA，例如∠B=100°和∠A=10°，满足sinB=cosA，则△ABC不是直角三角形，故②不正确．
③若sin²A+sin²B＞sin²C，则a²+b²＞c²，再由余弦定理可得cosC＞0，所以C为锐角，故③不正确．
④利用正弦定理边角互化，由

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，可得sin

A

2

=sin

B

2

=sin

C

2

，从而可得

A

2

=

B

2

=

C

2

，即A=B=C，故④正确
故答案为：1

点评：本题是基础题，考查三角形的判断，三角方程的求法，反例法的应用，考查计算能力，逻辑推理能力．