Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3，L），数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n，b_n；
（2）若T_n为数列{b_n}的前n项和，证明：当n≥2时，2S_n＞T_n+3n．

Answer 1

分析：（1）利用a_n=s_n-s_n-1（n≥2）和S_n=2a_n-2可得

an

an-1

=2（n≥2）即数列{a_n}为等比数列再求出a₁利用等比数列的通项公式写出a_n即可．由点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上可得b_n+1-b_n=2即数列{b_n}为等差数列在求出b₁利用等差数列的通项公式写出即可列b_n即可．
（2）由 （1）利用等比等差数列的前n项和公式求出sn=

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2，Tn=

n

2

(1+2n-1)=2n因此要证当n≥2时，2S_n＞T_n+3n即证不等式2ⁿ⁺²＞n²+3n+4（n≥2）成立，而对此可采用数学归纳法证明．

解答：解：（1）∵S_n=2a_n-2
∴s_n-1=2a_n-1-2（n≥2）
∵a_n=s_n-s_n-1（n≥2）
∴a_n=2a_n-2a_n-1
∴

an

an-1

=2（n≥2）即数列{a_n}为等比数列
∵a₁=s₁=2a₁-2
∴a₁=2
∴a_n=2ⁿ
∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上
∴b_n+1-b_n=2∵b₁=1∴b_n=2n-1
（2）证明：由已知sn=

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2，Tn=

n

2

(1+2n-1)=2n即证明不等式2ⁿ⁺²＞n²+3n+4（n≥2）成立
下面用数学归纳法给出证明：
①当n=2时，2ⁿ⁺²=16，n²+3n+4=14，不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即2^k+2＞k²+3k+4成立，
那么当 n=k+1时2^k+3＞2k²+6k+8．
以下只需证明2k²+6k+8≥（k+1）²+3（k+1）+4成立
即只需证明k²+k≥0成立，因为k≥2时k²+k≥0成立
所以当n=k+1时不等式2ⁿ⁺²＞n²+3n+4（n≥2）成立
综合①②知原不等式成立．

点评：本题第一问较简单主要考查了利用递推公式S_n=2a_n-2和b_n+1-b_n=2求数列{a_n}，{b_n}的通项公式，在求{a_n}时结合了a_n=s_n-s_n-1（n≥2）得出{a_n}为等比数列这一关键结论．第二问在第一问的基础上利用等比等差数列的前n项和公式来证明当n≥2时，2S_n＞T_n+3n成立而解决这个问题要做到两点（1）等比等差数列的前n项和公式要熟记（2）利用数学归纳法证明关于n的不等式时要分两步1．当n=n₀时验证左右两边成立2．假设当n=k时不等式成立然后利用假设证明当n=k+1时不等式也成立即可说明当n≥2时，2S_n＞T_n+3n成立．但在具体的证明过程中又采用了分析法从而简化了证明步骤！