[题目]在平面直角坐标系中.将曲线(为参数)上任意一点经过伸缩变换后得到曲线的图形．以坐标原点为极点.x轴的非负半轴为极轴.取相同的单位长度建立极坐标系.已知直线．(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程,(2)点P为曲线上的任意一点.求点P到直线的距离的最大值及取得最大值时点P的坐标．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】在平面直角坐标系中，将曲线（为参数）上任意一点经过伸缩变换后得到曲线的图形．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线．

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）点P为曲线上的任意一点，求点P到直线的距离的最大值及取得最大值时点P的坐标．

【答案】（1），.（2）最大值,此时点.

【解析】

（1）根据伸缩坐标关系，可求参数方程，利用消去参数；由，即可求直线的直角坐标方程；

（2）点P用参数表示，根据点到直线的距离公式，求出P到直线的距离，再结合三角函数的有界性，即可求解.

（1），

消去参数，得，

所以的普通方程为；

直线，

直线的直角坐标方程；

（2）设，点到直线直线的距离为，

，

其中，

当时，取得最大值为，

此时，

点P的坐标为时，点P到直线的距离的最大为.

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