Question

（本小题满分14分）

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.如图，ABCD是梯形，AB//CD，，PA⊥面ABCD，         

且AB=1，AD=1，CD=2，PA=3，E为PD的中点

（Ⅰ）求证：AE//面PBC.

（Ⅱ）求直线AC与PB所成角的余弦值；

（Ⅲ）在面PAB内能否找一点N，使NE⊥面PAC. 若存在，找出并证明；若不存在，

请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

解： （Ⅰ）取PC中点为F，连结EF，BF                         

又E为PD的中点，所以且

所以EF//AB，且EF=AB，所以ABFE为平行四边形                    …2分

所以AE//BF，  因为AE面PBC， 所以AE//面PBC                  …4分

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则    A、B、C、D、P、E的坐标分别为A（0，0，0），

B（1，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），

（0，0，3），E（0，，） …5分

从而=（2，1，0），=（1，0，）

设与的夹角为，则

，  …7分

∴AC与PB所成角的余弦值为                …8分

（Ⅲ）法1：由于N点在面PAB内，故可设N点坐标为（x，0，z），

则   由NE⊥面PAC可得：     …10分

即

化简得   即N点的坐标为（，0，）  

所以在面PAB内存在点N（，0，），使NE⊥面PAC.       …14分

（Ⅲ）法2：在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于G，连PG，

设N为PG的中点，连NE，则NE//DG，                          …10分

∵DG⊥AC，DG⊥PA，∴DG⊥面PAC 从而NE⊥面PAC          

【解析】略