Question

17．已知函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$），将y=f（x）的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得到y=h（x）的图象．
（1求y=h（x）的单调递增区间；
（2）若f（α）=$\frac{1}{4}$，求sin（$\frac{5π}{6}$-α）+sin²（$\frac{π}{3}$-α）的值．

Answer 1

分析 （1）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得h（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$），由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得y=h（x）的单调递增区间．
（2）由题意令t=a+$\frac{π}{6}$，则sint=$\frac{1}{4}$，可求sin（$\frac{5π}{6}$-α）=sin（$\frac{5π}{6}$-（t-$\frac{π}{6}$））=$\frac{1}{4}$，sin²（$\frac{π}{3}$-α）=sin²（$\frac{π}{3}$-（t-$\frac{π}{6}$））=$\frac{15}{16}$，即可得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）由题意，可得h（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$），…2分
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得y=h（x）的单调递增区间为：[4kπ-$\frac{4π}{3}$，4kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z…7分
（2）f（α）=$\frac{1}{4}$，即sin（$α+\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，令t=a+$\frac{π}{6}$，则sint=$\frac{1}{4}$，
sin（$\frac{5π}{6}$-α）=sin（$\frac{5π}{6}$-（t-$\frac{π}{6}$））=sin（π-t）=sint=$\frac{1}{4}$，…10分
sin²（$\frac{π}{3}$-α）=sin²（$\frac{π}{3}$-（t-$\frac{π}{6}$））=sin²（$\frac{π}{2}$-t）=cos²t=1-sin²t=$\frac{15}{16}$…13分
因此，sin（$\frac{5π}{6}$-α）+sin²（$\frac{π}{3}$-α）=$\frac{19}{16}$…14分
注：未写“k∈Z”扣2分．

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．