Question

将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有　　　种．

Answer 1

  222

用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用表示名额．如
　　     
表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．
若把每个“”与每个“”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．
“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有种．
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．
综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．
[解法二]　设分配给3个学校的名额数分别为，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程
　　　　　．
的正整数解的个数，即方程的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：
．
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．
综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．