Question

已知点A（-1，0）、B（1，0）和动点P满足：∠APB=2θ，且存在正常数m，使得|PA|•|PB|cos²θ=m．
（I）求动点P的轨迹C的方程；
（II）设直线l：y=x+1与曲线C相交于两点E、F，且与y轴的交点为D．若，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）在△PAB中，由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos2θ，由此推导出动点P的轨迹为以A，B为两焦点的椭圆，从而求出动点P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）由，得（2m+1）x²+2（m+1）x+（1-m²）=0，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由题设条件知D（0，1），由此入手能够求出m．
解答：解：（Ⅰ）在△PAB中，由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos2θ，
∵|AB|=2，|PA|•|PB|cos²θ=m，
∴4=（|PA|+|PB|）²-2|PA|•|PB|（1+cos2θ）=（|PA|+|PB|）²-4m，
∴|PA|+|PB|=2＞2=|AB|，
即动点P的轨迹为以A，B为两焦点的椭圆，
∴动点P的轨迹C的方程为．
（Ⅱ）由，得（2m+1）x²+2（m+1）x+（1-m²）=0，（*）
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由题设条件知D（0，1），
则，①
 ，②
∵，∴（x₁，y₁-1）=（2+）（x₂，y₂-1），
∴
 将③代入①，②得，
∵m＞0，∴m=，
代入（*）方程△＞0，故m=．
点评：本题主要考查椭圆方程的求法和直线与圆锥曲线的综合问题．一般是直线与圆锥曲线的方程联立消去y，得到两根之和与两根之积的关系式，再结合题中所给条件解题．