【题目】已知函数f(x)=alnx﹣x2+1.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x﹣y+b=0,求实数a和b的值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;
【答案】(Ⅰ)a=6,b=﹣4.(Ⅱ)答案见解析.
【解析】试题分析:
(1)由题意得到关于实数a,b的方程组,求解方程组可得a=6,b=﹣4.
(2)首先求解导函数,然后对参数a分类讨论可得:
当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上是减函数,
当a>0时,f(x)在上是增函数,在上是减函数.
试题解析:
(Ⅰ)f(x)=alnx﹣x2+1求导得
在x=1处的切线方程为4x﹣y+b=0,f′(1)=a﹣2=4,得a=6,4﹣f(1)+b=0;b=﹣4.
(Ⅱ)
当a≤0时,f′(x)≤0在(0,+∞)恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上是减函数,
当a>0时,(舍负),f(x)在上是增函数,在上是减函数.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
直角坐标系中曲线的参数方程(为参数),在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 点的极坐标,在平面直角坐标系中,直线经过点,倾斜角为
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程;
(2)设直线与曲线相交于两点,求的值.
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【题目】已知函数 (p,q为常数)是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且 .
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断并用定义证明f(x)在(﹣1,1)上的单调性;
(3)解关于x的不等式f(2x﹣1)+f(x)<0.
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【题目】对于在区间[a,b]上有意义的两个函数f(x)和g(x),如果对于任意x∈[a,b]均有|f(x)﹣g(x)|≤1成立,则称函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上是接近的.若f(x)=log2(ax+1)与g(x)=log2x在区[1,2]上是接近的,则实数a的取值范围是( )
A.[0,1]
B.[2,3]
C.[0,2)
D.(1,4)
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【题目】已知函数f(x)=x2﹣2x,g(x)=ax+2(a>0),若对任意x1∈R,都存在x2∈[﹣2,+∞),使得f(x1)>g(x2),则实数a的取值范围是( )
A.
B.(0,+∞)
C.
D.
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【题目】现有8名奥运会志愿者,其中志愿者 通晓日语, 通晓俄语, 通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名,组成一个小组.
(Ⅰ)求 被选中的概率;
(Ⅱ)求 和 不全被选中的概率.
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