【题目】已知椭圆C: ,点P,过右焦点F作与y轴不垂直的直线l交椭圆C于A,B两点.
(Ⅰ )求椭圆C的离心率;
(Ⅱ )求证:以坐标原点O为圆心与PA相切的圆,必与直线PB相切.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:
(Ⅰ )由椭圆标准方程知,可计算出,得离心率;
(Ⅱ )只要证明关于轴对称,即,为此,当直线l斜率存在时,设直线的方程: , , ,由直线方程与椭圆方程联立,消去后得的一元二次方程,从而可得,然后计算可得,同时验证一下斜率不存在时,也满足.
试题解析:
解:(Ⅰ)由椭圆C: 得:
, ,
所以, 椭圆C的离心率为
(Ⅱ)因为,所以点F(1,0),
当直线l斜率不存在时,直线l的方程: ,A,B两点关于x轴对称,
点P(4,0)在x轴上,所以直线PA与直线PB关于x轴对称,
所以, 点O到直线PA与直线的距离PB相等,
所以,以坐标原点O为圆心与PA相切的圆,必与直线PB相切
当直线l斜率存在时,设直线l的方程: , ,
由得:
,
,
所以, ,于是点O到直线PA与直线的距离PB相等,
故以坐标原点O为圆心与PA相切的圆,必与直线PB相切
(也可以用点O到直线PA与直线的距离PB的距离相等来证明)
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【题目】数列和中,已知,且, ,若数列为等比数列.
(Ⅰ)求及数列的通项公式;
(Ⅱ)令,是否存在正整数, (),使, , 成等差数列?若存在,求出, 的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知圆: ,定点, 是圆上的一动点,线段的垂直平分线交半径于点.
(Ⅰ)求点的轨迹的方程;
(Ⅱ)四边形的四个顶点都在曲线上,且对角线, 过原点,若,求证:四边形的面积为定值,并求出此定值.
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【题目】某校对高二年级选学生物的学生的某次测试成绩进行了统计,随机抽取了名学生的成绩作为样本,根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下:
(1)求表中的值和频率分布直方图中的值;
(2)如果用分层抽样的方法,从样本成绩在和的学生中共抽取人,再从人中选人,
求这人成绩在的概率.
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【题目】某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系用下图的两条线段表示;该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系Q=﹣t+40.
(1)根据提供的图象,写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式;
(2)问这30天内,哪天的销售额最大,最大是多少?(销售额=销售价格×销售量)
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【题目】连掷一枚均匀的骰子两次,所得向上的点数分别为,记,则下列说法正确的是( )
A. 事件“”的概率为 B. 事件“是奇数”与“”互为对立事件
C. 事件“”与“”互为互斥事件 D. 事件“”的概率为
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【题目】下列各式中,正确的个数是( )
①={0};②{0};③∈{0};④0={0};⑤0∈{0};⑥{1}∈{1,2,3};⑦{1,2}{1,2,3};⑧{a,b}={b,a}.
A.1
B.2
C.3
D.4
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