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【题目】已知椭圆C ,点P,过右焦点F作与y轴不垂直的直线l交椭圆CAB两点.

(Ⅰ )求椭圆C的离心率;

(Ⅱ )求证:以坐标原点O为圆心与PA相切的圆,必与直线PB相切.

【答案】12)见解析

【解析】试题分析:

(Ⅰ )由椭圆标准方程知,可计算出,得离心率;

(Ⅱ )只要证明关于轴对称,即,为此,当直线l斜率存在时,设直线的方程: ,由直线方程与椭圆方程联立,消去后得的一元二次方程,从而可得,然后计算可得,同时验证一下斜率不存在时,也满足.

试题解析:

解:由椭圆C 得:

所以, 椭圆C的离心率为

(Ⅱ)因为,所以点F(1,0),

当直线l斜率不存在时,直线l的方程: AB两点关于x轴对称,

P(4,0)在x轴上,所以直线PA与直线PB关于x轴对称,

所以, 点O到直线PA与直线的距离PB相等,

所以,以坐标原点O为圆心与PA相切的圆,必与直线PB相切

当直线l斜率存在时,设直线l的方程:

得:

所以, ,于是点O到直线PA与直线的距离PB相等,

故以坐标原点O为圆心与PA相切的圆,必与直线PB相切

(也可以用点O到直线PA与直线的距离PB的距离相等来证明)

练习册系列答案
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