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【题目】已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 X 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.
(1)求椭圆 C 的标准方程;
(2)若直线 与椭圆 C 相交于 A,B 两点( A,B 不是左右顶点),且以 AB 为直径的图过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

【答案】
(1)

【解答】由题意设椭圆的标准方程为 ,由已知得:

所以 椭圆的标准方程为


(2)

【解答】设 .联立

,则

因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点

,即 . 所以

. .

解得: ,且均满足

时, l 的方程 ,直线过点 (2,0) ,与已知矛盾;

时, l 的方程为 ,直线过定点

所以,直线 l 过定点,定点坐标为


【解析】(1)椭圆 的中心在坐标原点,焦点在 轴上,椭圆 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1;可得 ;进而求出椭圆的标准方程.(2)中由直线交椭圆于不同两点得不等式△>0,由中点横坐标得一方程,两者联立即可求得范围,称为“方程不等式法”,解题中注意应用.

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