Question

（2009•黄冈模拟）已知定义域在R上的单调函数，存在实数x₀，使得对于任意的实数x₁，x₂总有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（1）求x₀的值；
（2）若f（1）=1，且对于任意的正整数n，有a_n=

1

f(n)

，b_n=f（

1

2n

）+1
（Ⅰ）若S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求S_n；
（Ⅱ）若T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，求T_n．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法，先令 x₁=x₂=0，再令 x₁=1，x₂=0，代入已知恒等式即可
（2）令 x₁=n，x₂=1，代入已知恒等式，即可发现数列{f（n）}为等差数列，从而可用裂项求和的方法求S_n；利用f（

1

2n

）=f（

1

2n+1

+

1

2n+1

）代入恒等式，即可发现数列{b_n}为等比数列，利用等比数列前n项和公式即可求得T_n．

解答：解：（1）令x₁=x₂=0，得f（0）=f（x₀）+2f（0），∴f（x₀）=-f（0）①
令x₁=1，x₂=0，得f（x₀）=f（x₀）+f（1）+f（0），∴f（1）=-f（0）②
由①②得f（x₀）=f（1）
又∵f（x）是单调函数，
∴x₀=1
（2）由（1）可得 f（x₁+x₂）=f（1）+f（x₁）+f（x₂）+1
则f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2
又∵f（1）=1
∴f（n）=2n-1 （n∈N^*），
∴a_n=

1

2n-1

∴S_n=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)×(2n+1)

=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）
又∵f（1）=f（

1

2

+

1

2

）=f（

1

2

）+f（

1

2

）+f（1），∴f（

1

2

）=0，∴b₁=f（

1

2

）+1=1
∵f（

1

2n

）=f（

1

2n+1

+

1

2n+1

）=f（

1

2n+1

）+f（

1

2n+1

）+f（1）=2f（

1

2n+1

）+1
∴b_n=f（

1

2n

）+1=2f（

1

2n+1

）+2=2b_n+1
∴bn=b1×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-1
∴b_nb_n+1=(

1

2

)n-1×(

1

2

)n=

1

2

×(

1

4

)n-1
∴T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=

1 2 ×(1- ( 1 4 )n )

1- 1 4

=

2

3

[1-(

1

4

)n]

点评：本题考查了函数与数列的综合应用能力，抽象函数表达式的应用，等差等比数列的定义，裂项求和的技巧及等比数列的前n项和公式