Question

【题目】已知函数f（x）=|2x﹣1|+|ax﹣5|（0＜a＜5）．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥9的解集；
（2）如果函数y=f（x）的最小值为4，求实数a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1时，f（x）=|2x﹣1|+|x﹣5|，

x＜ 时，不等式f（x）≥9等价于6﹣3x≥9，∴x≤﹣1，此时x≤﹣1；

x≤5时，不等式f（x）≥9等价于x+4≥9，∴x≥5，此时x=5；

x＞5时，不等式f（x）≥9等价于3x﹣6≥9，∴x＞5，此时x＞5；

综上所述，不等式的解集为{x|x≤﹣1或x＞5}；

（2）∵0＜a＜5，

∴x＜ ，f（x）=﹣（a+2）x+6单调递减；x＞ ，f（x）=（a+2）x﹣6单调递增，

∴f（x）的最小值在 时取得，

即 或 ，解得a=2．

【解析】（1）当a=1时，分类讨论求不等式f（x）≥9的解集；（2）f（x）的最小值在 时取得，即 或 ，即可求实数a的值．
【考点精析】利用绝对值不等式的解法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．