Question

一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是．

Answer 1

如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．


因

，
故，从而．
记此时小球与面的切点为，连接，则
．
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答12图2．记正四面体
的棱长为，过作于．
因，有，故小三角形的边长．
小球与面不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）
．　　　　　　　　　
又，，所以
．
由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．